Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Biết tam giác $SBD$ đều và có diện tích bằng ${{a}^{2}}\sqrt{3}.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng
A. $45{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $75{}^\circ $.
Ta có: ${{S}_{ABD}}=\dfrac{B{{D}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}\Rightarrow SB=BD=2a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AD=AB=a\sqrt{2} \\
& SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD $ và $ AD\bot CD$ nên:
$\left( \widehat{\left( SCD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{AD,SD} \right)=\widehat{SDA}$
Xét tam giác $SDA$ có: $\tan \widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=1\Rightarrow \widehat{SDA}=45{}^\circ .$
A. $45{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $75{}^\circ $.
& AD=AB=a\sqrt{2} \\
& SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AD \\
& CD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD $ và $ AD\bot CD$ nên:
$\left( \widehat{\left( SCD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{AD,SD} \right)=\widehat{SDA}$
Xét tam giác $SDA$ có: $\tan \widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=1\Rightarrow \widehat{SDA}=45{}^\circ .$
Đáp án A.