Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SC,SB=SD$, $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=2a,AD=a$, hai mặt bên $\left( SAB \right)$ và $(SCD)$ cùng vuông góc với nhau. Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ góc giữa đường thẳng $DI$ và mặt $(SCD)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{16}{3}{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$ (do $\Delta SAC,\ \Delta SBD$ là các tam giác cân tại $S$ $\Rightarrow SO\bot AC,\ SO\bot BD$ ).
Ta có: $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx$ với $Sx\ \text{//}\ AB\ \text{//}\ CD$.
Có: $OI\ \text{//}\ AD$ (do $OI$ là đường trung bình của $\Delta ADB$ ) $\Rightarrow OI\bot AB$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SO \\
& AB\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot SI $ mà $ Sx\ \text{//}\ AB\ \Rightarrow SI\bot Sx$
Lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& Sx=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\
& \left( SAB \right)\bot \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $SI\bot \left( SCD \right)\Rightarrow S$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( SCD \right)$ $\Rightarrow DS$ là hình chiếu của $DI$ trên $\left( SCD \right)$ $\Leftrightarrow \left( DI,\left( SCD \right) \right)=\left( DI,DS \right)=\widehat{SDI}\Rightarrow \widehat{SDI}={{30}^{0}}$.
Xét $\Delta ADI$ vuông tại $A\Rightarrow DI=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{I}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta SDI$ vuông tại $S\Rightarrow SI=DI.\sin {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SOI$ vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\dfrac{a}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.2{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{16}{3}{{a}^{3}}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
Ta có: $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx$ với $Sx\ \text{//}\ AB\ \text{//}\ CD$.
Có: $OI\ \text{//}\ AD$ (do $OI$ là đường trung bình của $\Delta ADB$ ) $\Rightarrow OI\bot AB$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SO \\
& AB\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot SI $ mà $ Sx\ \text{//}\ AB\ \Rightarrow SI\bot Sx$
Lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& Sx=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\
& \left( SAB \right)\bot \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $SI\bot \left( SCD \right)\Rightarrow S$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( SCD \right)$ $\Rightarrow DS$ là hình chiếu của $DI$ trên $\left( SCD \right)$ $\Leftrightarrow \left( DI,\left( SCD \right) \right)=\left( DI,DS \right)=\widehat{SDI}\Rightarrow \widehat{SDI}={{30}^{0}}$.
Xét $\Delta ADI$ vuông tại $A\Rightarrow DI=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{I}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta SDI$ vuông tại $S\Rightarrow SI=DI.\sin {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SOI$ vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\dfrac{a}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.2{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.