Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AB$ song song với $CD$, $CD=7AB$. Gọi $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $\dfrac{SM}{SA}=k$, $\left( 0<k<1 \right)$. Tìm giá trị của $k$ để $\left( CDM \right)$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A. $k=\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2}$.
B. $k=\dfrac{-7+\sqrt{65}}{2}$.
C. $k=\dfrac{-7+\sqrt{71}}{4}$.
D. $k=\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2}$.
Ta có: $\left( CMD \right)\cap \left( SAB \right)=\Delta \left\{ \begin{aligned}
& qua M \\
& // CD \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $N=\Delta \cap SB\Rightarrow N=\left( CDM \right)\cap SB$. Khi đó, ta có: $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}=k$
Đồng thời $mp\left( CDM \right)$ chia khối chóp thành hai phần: $S.CMND$ và $ABCDMN$.
Ta có: ${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{S.DMC}}+{{V}_{S.MNC}}$.
Lại có: $\dfrac{{{V}_{S.DMC}}}{{{V}_{S.DAC}}}=\dfrac{SM}{SA}=k$, $\dfrac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}={{k}^{2}}$
Suy ra ${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{S.DMC}}+{{V}_{S.MNC}}=k{{V}_{S.DAC}}+{{k}^{2}}{{V}_{S.ABC}}$.
Mà $CD=7AB\Rightarrow {{S}_{ACD}}=7.{{S}_{ABC}}\Rightarrow {{V}_{S.ACD}}=7{{V}_{S.ABC}}$. Do đó, ta có:
${{V}_{S.CDMN}}=7k{{V}_{S.ABC}}+{{k}^{2}}{{V}_{S.ABC}}=\left( {{k}^{2}}+7k \right){{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}\left( {{k}^{2}}+7k \right){{V}_{S.ABCD}}$.
Lại có ${{V}_{S.CDMN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}$ (do $mp\left( CDM \right)$ chia thành hai phần có thể tích bằng nhau)
Suy ra $\dfrac{1}{2}\left( {{k}^{2}}+7k \right){{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}\Leftrightarrow {{k}^{2}}+7k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2}$.
A. $k=\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2}$.
B. $k=\dfrac{-7+\sqrt{65}}{2}$.
C. $k=\dfrac{-7+\sqrt{71}}{4}$.
D. $k=\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2}$.
& qua M \\
& // CD \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $N=\Delta \cap SB\Rightarrow N=\left( CDM \right)\cap SB$. Khi đó, ta có: $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}=k$
Đồng thời $mp\left( CDM \right)$ chia khối chóp thành hai phần: $S.CMND$ và $ABCDMN$.
Ta có: ${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{S.DMC}}+{{V}_{S.MNC}}$.
Lại có: $\dfrac{{{V}_{S.DMC}}}{{{V}_{S.DAC}}}=\dfrac{SM}{SA}=k$, $\dfrac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}={{k}^{2}}$
Suy ra ${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{S.DMC}}+{{V}_{S.MNC}}=k{{V}_{S.DAC}}+{{k}^{2}}{{V}_{S.ABC}}$.
Mà $CD=7AB\Rightarrow {{S}_{ACD}}=7.{{S}_{ABC}}\Rightarrow {{V}_{S.ACD}}=7{{V}_{S.ABC}}$. Do đó, ta có:
${{V}_{S.CDMN}}=7k{{V}_{S.ABC}}+{{k}^{2}}{{V}_{S.ABC}}=\left( {{k}^{2}}+7k \right){{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}\left( {{k}^{2}}+7k \right){{V}_{S.ABCD}}$.
Lại có ${{V}_{S.CDMN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}$ (do $mp\left( CDM \right)$ chia thành hai phần có thể tích bằng nhau)
Suy ra $\dfrac{1}{2}\left( {{k}^{2}}+7k \right){{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}\Leftrightarrow {{k}^{2}}+7k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{-7+\sqrt{53}}{2}$.
Đáp án D.
