Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ có $AB$ song song với $CD$. Biết $A\left( 1 ;2 ;1 \right)$, $B\left( 2 ;0 ;-1 \right)$, $C\left( 6 ;1 ;0 \right)$ và diện tích hình thang $ABCD$ bằng $6\sqrt{2}$. Gọi $D\left( a ;b ;c \right)$, khi đó biểu thức $T=a-2b+4c$ là
A. $T=3$.
B. $T=5$.
C. $T=6$.
D. $T=8$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 1 ;-2 ;-2 \right)\Rightarrow AB=3$ ; $\overrightarrow{BC}=\left( 4 ;1 ;1 \right)\Rightarrow BC=3\sqrt{2}$.
Ta nhận thấy $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AB\bot BC$ nên hình thang $ABCD$ vuông tại $B$ và $C$.
Đường thẳng $CD$ đi qua $C\left( 6 ;1 ;0 \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1 ;-2 ;-2 \right)$ nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{aligned}
& x=6+t \\
& y=1-2t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.,\ t\in \mathbb{R}$.
$D\in CD\Rightarrow D\left( 6+t ;1-2t ;-2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( -t ;2t ;2t \right)\Rightarrow DC=3\left| t \right|$.
Diện tích hình thang $ABCD$ là $\dfrac{AB+DC}{2}. BC=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{3+3\left| t \right|}{2}. 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| t \right|=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{3}$.
+ Với $t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)$ : loại vì ngược hướng với $\overrightarrow{AB}=\left( 1 ;-2 ;-2 \right)$.
+ Với $t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$ : thỏa mãn, khi đó $D\left( \dfrac{17}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow T=a-2b+4c=5$.
A. $T=3$.
B. $T=5$.
C. $T=6$.
D. $T=8$.
Ta nhận thấy $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AB\bot BC$ nên hình thang $ABCD$ vuông tại $B$ và $C$.
Đường thẳng $CD$ đi qua $C\left( 6 ;1 ;0 \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1 ;-2 ;-2 \right)$ nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{aligned}
& x=6+t \\
& y=1-2t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.,\ t\in \mathbb{R}$.
$D\in CD\Rightarrow D\left( 6+t ;1-2t ;-2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( -t ;2t ;2t \right)\Rightarrow DC=3\left| t \right|$.
Diện tích hình thang $ABCD$ là $\dfrac{AB+DC}{2}. BC=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{3+3\left| t \right|}{2}. 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| t \right|=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{3}$.
+ Với $t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)$ : loại vì ngược hướng với $\overrightarrow{AB}=\left( 1 ;-2 ;-2 \right)$.
+ Với $t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$ : thỏa mãn, khi đó $D\left( \dfrac{17}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow T=a-2b+4c=5$.
Đáp án B.