Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$...

Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot IK \\
& AB\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IK\bot \left( SIK \right).$
$\left\{ \begin{aligned}
& IK\bot \left( SIK \right) \\
& IK\subset \left( ABCD \right) \\
& \left( ABCD \right)\cap \left( SIK \right)=IK \\
& SH\bot IK \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Ta có $S{{K}^{2}}=S{{D}^{2}}-D{{K}^{2}}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow SK=\dfrac{\sqrt{13}}{2}a.$
$IK=a;SI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow p=\dfrac{SK+SI+IK}{2}=\dfrac{\left( 2+\sqrt{3}+\sqrt{13} \right)a}{4}.$
Diện tích tam giác $SIK$ là: $k=\sqrt{p\left( p-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a \right)\left( p-a \right)\left( p-\dfrac{\sqrt{13}}{2}a \right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{2}}.$
Độ dài $SH=\dfrac{2k}{IK}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{a}^{2}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{4}a.{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}.$