Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAB$ cân tại $S$. Góc giữa mặt bên $\left( SAB \right)$ và mặt đáy bằng ${{60}^{0}}$, góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng ${{45}^{0}}$. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $V$. Chiều cao của hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt[3]{3V}}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt[3]{V}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt[3]{3V}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt[3]{9V}}{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $K$ là trung điểm $DC$.
Suy ra $SI\bot AB$ (Vì $\Delta SAB$ cân); $IK\bot AB$ (Vì $IK//BC$ ).
Kẻ $SH\bot IK$.
$\left. \begin{aligned}
& SI\bot AB \\
& IK\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SIK \right)$.
$\left. \begin{aligned}
& SH\bot IK \\
& SH\bot AB\left( SH\subset \left( SIK \right) \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $IH=SH.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{SH}{\sqrt{3}}$ và $AH=SH$ (Vì $\Delta SAH$ vuông cân tại $H$ ).
$AI=\sqrt{A{{H}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{H}^{2}}-{{\dfrac{SH}{3}}^{2}}}=\dfrac{SH\sqrt{6}}{3}$.
$AB=2AI=\dfrac{2SH\sqrt{6}}{3}$.
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.A{{B}^{2}}$
$\Rightarrow SH.A{{B}^{2}}=3V$
$\Leftrightarrow SH.\dfrac{4S{{H}^{2}}.6}{9}=3V\Leftrightarrow 24S{{H}^{3}}=27V\Leftrightarrow SH=\sqrt[3]{\dfrac{27V}{24}}=\dfrac{\sqrt[3]{9V}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt[3]{3V}}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt[3]{V}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt[3]{3V}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt[3]{9V}}{2}$.
Suy ra $SI\bot AB$ (Vì $\Delta SAB$ cân); $IK\bot AB$ (Vì $IK//BC$ ).
Kẻ $SH\bot IK$.
$\left. \begin{aligned}
& SI\bot AB \\
& IK\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SIK \right)$.
$\left. \begin{aligned}
& SH\bot IK \\
& SH\bot AB\left( SH\subset \left( SIK \right) \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $IH=SH.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{SH}{\sqrt{3}}$ và $AH=SH$ (Vì $\Delta SAH$ vuông cân tại $H$ ).
$AI=\sqrt{A{{H}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{S{{H}^{2}}-{{\dfrac{SH}{3}}^{2}}}=\dfrac{SH\sqrt{6}}{3}$.
$AB=2AI=\dfrac{2SH\sqrt{6}}{3}$.
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.A{{B}^{2}}$
$\Rightarrow SH.A{{B}^{2}}=3V$
$\Leftrightarrow SH.\dfrac{4S{{H}^{2}}.6}{9}=3V\Leftrightarrow 24S{{H}^{3}}=27V\Leftrightarrow SH=\sqrt[3]{\dfrac{27V}{24}}=\dfrac{\sqrt[3]{9V}}{2}$.
Đáp án D.