Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Biết $AB=SB=a\sqrt{2}$, $SO=a$. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right).$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $1$.
C. $\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Gọi $M$ trung điểm $SA$. Ta có $\Delta SAB$ cân tại $B\Rightarrow BM\bot SA\text{ (1)}$
Vì $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot BD$, lại có $O$ trung điểm $BD$ $\Rightarrow \Delta SBD$ cân tại $S$
nên $SD=SB=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow \Delta SAD$ cân tại $D$ nên $DM\bot SA\text{ (2)}$
Lại có $\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA\text{ (3)}$
Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right),\left( SAD \right) \right)}=\widehat{BMD}$ hoặc $\widehat{\left( \left( SAB \right),\left( SAD \right) \right)}=180{}^\circ -\widehat{BMD}$.
Xét $\Delta SOB$ vuông tại $O$ $\Rightarrow OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\Rightarrow BD=2\text{a}$.
Xét $\Delta AOB$ vuông tại $O$ có $OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=A\Rightarrow OA=OC=a$.
Xét $\Delta SOC\Rightarrow SC=a\sqrt{2}\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} .$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right) $ nên $ BD\bot MO $. Mặt khác $ OD=OB $ nên $ \Delta BDM $cân tại $ M$.
Xét $\Delta BOM$ vuông tại $O$ $\Rightarrow BM=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow DM=BM=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Xét $\Delta BDM\Rightarrow \cos \left( BMD \right)=\dfrac{B{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2BM.DM}=\dfrac{-1}{3}\Rightarrow \cos \left( \left( SAB \right) ; \left( SAD \right) \right)= \dfrac{1}{3}.$
Vậy $\text{tan}\left( \left( SAB \right) ; \left( SAD \right) \right)= \sqrt{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}-1}=2\sqrt{2}$.
Cách 2:
Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho tâm của hình thoi trùng với gốc tọa độ, và các điểm lần lượt có tọa độ như sau: $S\left( 0,0,a \right)\in Oz$, $D\left( a,0,0 \right)\in Ox$, $C\left( 0,a,0 \right)\in Oy$.
Khi đó dễ dàng suy ra các đỉnh còn lại là $B\left( -a,0,0 \right)$, $A\left( 0,-a,0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAD \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SA}=\left( 0,-a-a \right)$ và $\overrightarrow{SD}=\left( a;0;-a \right)$ do đó có VTPT $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD} \right]=\left( {{a}^{2}},-{{a}^{2}},{{a}^{2}} \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SA}=\left( 0,-a-a \right)$ và $\overrightarrow{SB}=\left( -a;0;-a \right)$ do đó có VTPT $\overrightarrow{{{n}'}}=\left[ \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD} \right]=\left( -{{a}^{2}},-{{a}^{2}},{{a}^{2}} \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SAB \right)$, khi đó $\cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}'}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\left| \overrightarrow{{{n}'}} \right|}=\dfrac{\left| -{{a}^{4}}+{{a}^{4}}+{{a}^{4}} \right|}{\sqrt{3{{a}^{4}}}\sqrt{3{{a}^{4}}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}$. Vậy $\text{tan}\varphi = \sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\varphi }-1}=\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}-1}=2\sqrt{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $1$.
C. $\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{2}$.
Vì $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot BD$, lại có $O$ trung điểm $BD$ $\Rightarrow \Delta SBD$ cân tại $S$
nên $SD=SB=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow \Delta SAD$ cân tại $D$ nên $DM\bot SA\text{ (2)}$
Lại có $\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA\text{ (3)}$
Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right),\left( SAD \right) \right)}=\widehat{BMD}$ hoặc $\widehat{\left( \left( SAB \right),\left( SAD \right) \right)}=180{}^\circ -\widehat{BMD}$.
Xét $\Delta SOB$ vuông tại $O$ $\Rightarrow OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\Rightarrow BD=2\text{a}$.
Xét $\Delta AOB$ vuông tại $O$ có $OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=A\Rightarrow OA=OC=a$.
Xét $\Delta SOC\Rightarrow SC=a\sqrt{2}\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} .$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right) $ nên $ BD\bot MO $. Mặt khác $ OD=OB $ nên $ \Delta BDM $cân tại $ M$.
Xét $\Delta BOM$ vuông tại $O$ $\Rightarrow BM=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow DM=BM=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Xét $\Delta BDM\Rightarrow \cos \left( BMD \right)=\dfrac{B{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2BM.DM}=\dfrac{-1}{3}\Rightarrow \cos \left( \left( SAB \right) ; \left( SAD \right) \right)= \dfrac{1}{3}.$
Vậy $\text{tan}\left( \left( SAB \right) ; \left( SAD \right) \right)= \sqrt{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}-1}=2\sqrt{2}$.
Cách 2:
Khi đó dễ dàng suy ra các đỉnh còn lại là $B\left( -a,0,0 \right)$, $A\left( 0,-a,0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAD \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SA}=\left( 0,-a-a \right)$ và $\overrightarrow{SD}=\left( a;0;-a \right)$ do đó có VTPT $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD} \right]=\left( {{a}^{2}},-{{a}^{2}},{{a}^{2}} \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SA}=\left( 0,-a-a \right)$ và $\overrightarrow{SB}=\left( -a;0;-a \right)$ do đó có VTPT $\overrightarrow{{{n}'}}=\left[ \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD} \right]=\left( -{{a}^{2}},-{{a}^{2}},{{a}^{2}} \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SAB \right)$, khi đó $\cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}'}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\left| \overrightarrow{{{n}'}} \right|}=\dfrac{\left| -{{a}^{4}}+{{a}^{4}}+{{a}^{4}} \right|}{\sqrt{3{{a}^{4}}}\sqrt{3{{a}^{4}}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}$. Vậy $\text{tan}\varphi = \sqrt{\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\varphi }-1}=\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}-1}=2\sqrt{2}$.
Đáp án D.