Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=3a$, $AD=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=2a$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $DC$ sao cho $DC=3DM$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SD$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Gọi $N$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $BA=3BN$ khi đó $BN=DM$ và $BN \text{//} DM$ nên tứ giác $BNDM$ là hình bình hành, từ đó suy ra $BM \text{//} DN\Rightarrow BM \text{//} \left( SDN \right)$.
Vậy $\text{d}\left( BM,SD \right)\text{=d}\left( BM,\left( SDN \right) \right)=\text{d}\left( B,\left( SDN \right) \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $DN$ và $SH$.
Ta có $DN\bot AH$ và $DN\bot SA$ nên $DN\bot \left( SAH \right)$ từ đó suy ra $DN\bot AK$.
Lại có $AK\bot SH$ và $AK\bot DN$ nên $AK\bot \left( SDN \right)$.
Vậy $\text{d}\left( A,\left( SDN \right) \right)=AK$.
Do $AN=\dfrac{2}{3}AB=2a$ và tam giác $ADN$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{AN\cdot AD}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{2a\cdot a}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ nên $AK=\dfrac{AH\cdot AS}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{S}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}\cdot 2a}{\sqrt{{{\left( \dfrac{2\sqrt{5}a}{5} \right)}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{6}a}{6}$.
Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $\left( SDN \right)$ tại $N$ và $\dfrac{BN}{AN}=\dfrac{1}{2}$ nên $\text{d}\left( BM,SD \right)=\text{d}\left( B,\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}\text{d}\left( A,\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Vậy $\text{d}\left( BM,SD \right)\text{=d}\left( BM,\left( SDN \right) \right)=\text{d}\left( B,\left( SDN \right) \right)$.
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $DN$ và $SH$.
Ta có $DN\bot AH$ và $DN\bot SA$ nên $DN\bot \left( SAH \right)$ từ đó suy ra $DN\bot AK$.
Lại có $AK\bot SH$ và $AK\bot DN$ nên $AK\bot \left( SDN \right)$.
Vậy $\text{d}\left( A,\left( SDN \right) \right)=AK$.
Do $AN=\dfrac{2}{3}AB=2a$ và tam giác $ADN$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{AN\cdot AD}{\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{2a\cdot a}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ nên $AK=\dfrac{AH\cdot AS}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{S}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}\cdot 2a}{\sqrt{{{\left( \dfrac{2\sqrt{5}a}{5} \right)}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{6}a}{6}$.
Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $\left( SDN \right)$ tại $N$ và $\dfrac{BN}{AN}=\dfrac{1}{2}$ nên $\text{d}\left( BM,SD \right)=\text{d}\left( B,\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}\text{d}\left( A,\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án C.