Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$ và khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,$ kẻ $AK\bot BD\left( K\in BD \right),AH\bot SK\left( H\in SK \right)$.
Ta có: $AC\cap BD=\left\{ O \right\}\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AK \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)\Rightarrow BD\bot AH $ mà $ AH\bot SK\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$
Nên $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $ABD$ ta có: $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác $SAK$ ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{49}{21{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$.
A. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Ta có: $AC\cap BD=\left\{ O \right\}\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AK \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)\Rightarrow BD\bot AH $ mà $ AH\bot SK\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$
Nên $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $ABD$ ta có: $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác $SAK$ ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{49}{21{{a}^{2}}}-\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$.
Đáp án B.