Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=3a, AD=a$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=2a$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $DC$ sao cho $DC=3DM$. Khoảng cách giữa hai đường $BM$ và $SD$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
Gọi $N\in AB$ sao cho $BN=\dfrac{1}{3}AB\Rightarrow DN\text{//}BM\Rightarrow BM~\text{//}\left( SDN \right)$.
$\Rightarrow d\left( BM;SD \right)=d\left( BM;\left( SDN \right) \right)=d\left( B;\left( SDN \right) \right)$.
Mà $d\left( B;\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SDN \right) \right)$ $\Rightarrow d\left( BM;SD \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SDN \right) \right)$.
Kẻ $AK\bot DN$ ở $K$, kẻ $AH\bot SK$ ở $H$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DN\bot AK \\
& DN\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DN\bot \left( SAK \right)\Rightarrow DN\bot AH$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SK \\
& AH\bot DN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SDN \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SDN \right) \right)=AH$.
$\Delta ABD$ vuông ở $A$ : $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
$\Delta SAK$ vuông ở $A$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
$\Rightarrow d\left( BM;SD \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{2a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{a}{3}$.
$\Rightarrow d\left( BM;SD \right)=d\left( BM;\left( SDN \right) \right)=d\left( B;\left( SDN \right) \right)$.
Mà $d\left( B;\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SDN \right) \right)$ $\Rightarrow d\left( BM;SD \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SDN \right) \right)$.
Kẻ $AK\bot DN$ ở $K$, kẻ $AH\bot SK$ ở $H$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DN\bot AK \\
& DN\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DN\bot \left( SAK \right)\Rightarrow DN\bot AH$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SK \\
& AH\bot DN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SDN \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SDN \right) \right)=AH$.
$\Delta ABD$ vuông ở $A$ : $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
$\Delta SAK$ vuông ở $A$ : $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
$\Rightarrow d\left( BM;SD \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SDN \right) \right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án C.