Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=AB$ (tham khảo hình vẽ).
Tang của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SBA \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $2$.
D. $\sqrt{2}$.
Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=AB=1$ suy ra $\Delta SBC$ đều cạnh $\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( SBC \right)$ suy ra $AH\bot \left( SBC \right)$ và $H$ là trọng tâm của $\Delta SBC$.
Vì $AC\bot \left( SAB \right)$ và $AH\bot \left( SBC \right)$ nên $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SBA \right)} \right)=\left( \widehat{AC,AH} \right)=\widehat{HAC}$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ và $HC=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ nên $\tan \widehat{HAC}=\dfrac{HC}{HA}=\sqrt{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $2$.
D. $\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( SBC \right)$ suy ra $AH\bot \left( SBC \right)$ và $H$ là trọng tâm của $\Delta SBC$.
Vì $AC\bot \left( SAB \right)$ và $AH\bot \left( SBC \right)$ nên $\left( \widehat{\left( SBC \right),\left( SBA \right)} \right)=\left( \widehat{AC,AH} \right)=\widehat{HAC}$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ và $HC=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ nên $\tan \widehat{HAC}=\dfrac{HC}{HA}=\sqrt{2}$.
Đáp án D.