Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $AB=AC=a$ ; cạnh bên $SA=a$ và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Kẻ $AH\bot SC$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow AB\bot SC$ mà $SC\bot AH\Rightarrow SC\bot \left( SHB \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAC \right),\left( SBC \right) \right)}=\widehat{\left( AH,HB \right)}=\widehat{AHB}$
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow HB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \cos \widehat{AHB}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
& AB\bot AC \\
& AB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow AB\bot SC$ mà $SC\bot AH\Rightarrow SC\bot \left( SHB \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAC \right),\left( SBC \right) \right)}=\widehat{\left( AH,HB \right)}=\widehat{AHB}$
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow HB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \cos \widehat{AHB}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Đáp án C.