Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,$ tam giác $SBA$ vuông tại $B$ và tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $2a.$ Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
Gọi M là trung điểm BC, suy ra $AM\bot BC$.
Tam giác SBC đều có SM là trung tuyến nên SM cũng là đường cao, do đó $SM\bot BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SM \\
& BC\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$.
Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{B.SAM}}=\dfrac{2}{3}BM.{{S}_{SAM}}$.
Ta có $BM=\dfrac{1}{2}BC=a$, $SM=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, $AM=\dfrac{1}{2}BC=a$, $AB=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$, $SA=\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{B}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Suy ra ${{S}_{SAM}}=\sqrt{p\left( p-AM \right)\left( p-SA \right)\left( p-SM \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$ với $p=\dfrac{AM+SM+SA}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
Tam giác SBC đều có SM là trung tuyến nên SM cũng là đường cao, do đó $SM\bot BC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SM \\
& BC\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$.
Suy ra ${{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{B.SAM}}=\dfrac{2}{3}BM.{{S}_{SAM}}$.
Ta có $BM=\dfrac{1}{2}BC=a$, $SM=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, $AM=\dfrac{1}{2}BC=a$, $AB=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$, $SA=\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{B}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Suy ra ${{S}_{SAM}}=\sqrt{p\left( p-AM \right)\left( p-SA \right)\left( p-SM \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$ với $p=\dfrac{AM+SM+SA}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án C.
