Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=a$ và cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC.$ Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SMN \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
Dựng $AH\bot SM \left( H\in SM \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
MN\bot AB \\
MN\bot SA \\
\end{array} \right.\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot AH$
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot MN \\
AH\bot SM \\
\end{array} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SMN \right) \right)=AH$ và được tính bởi:
$AH=\dfrac{SA.AM}{SM}=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
MN\bot AB \\
MN\bot SA \\
\end{array} \right.\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot AH$
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot MN \\
AH\bot SM \\
\end{array} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SMN \right) \right)=AH$ và được tính bởi:
$AH=\dfrac{SA.AM}{SM}=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án A.