Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SA=2a$. Gọi $G, E$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC, N$ là trung điểm của $BC$. Thể tích khối chóp $AGEN$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{54}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{108}$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$.
Ta có $d\left( N,\left( AGE \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( S,AGE \right)$
Khi đó ${{V}_{N.AGE}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.AGE}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SG}{SK}.\dfrac{SE}{SN}.{{V}_{S.AKN}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SG}{SK}.\dfrac{SE}{SN}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}$
$=\dfrac{1}{18}.\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{108}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{54}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{108}$.
Ta có $d\left( N,\left( AGE \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( S,AGE \right)$
Khi đó ${{V}_{N.AGE}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.AGE}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SG}{SK}.\dfrac{SE}{SN}.{{V}_{S.AKN}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SG}{SK}.\dfrac{SE}{SN}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}$
$=\dfrac{1}{18}.\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{108}$.
Đáp án D.