Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $AB=a$, góc giữa mặt bên với mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{7a}{16}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{7a}{12}$.
Gọi $I$, $R$ lần lượt là tâm cầu và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ ; $M$ là trung điểm $BC$ suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SMA}={{60}^{0}}$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra $SG\bot (ABC)$.
Ta có $AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& GM=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a \\
& GA=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a \\
\end{aligned} \right.$.
Xét tam giác vuông $SGM$ có: $SG=GM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a.\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}a$.
Xét tam giác vuông $SGA$ có: $G{{I}^{2}}+G{{A}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{(\dfrac{a}{2}-R)}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}={{R}^{2}}\Leftrightarrow aR=\dfrac{7{{a}^{2}}}{12}\Leftrightarrow R=\dfrac{7a}{12}$
A. $\dfrac{7a}{16}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{7a}{12}$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra $SG\bot (ABC)$.
Ta có $AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& GM=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a \\
& GA=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a \\
\end{aligned} \right.$.
Xét tam giác vuông $SGM$ có: $SG=GM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a.\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}a$.
Xét tam giác vuông $SGA$ có: $G{{I}^{2}}+G{{A}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{(\dfrac{a}{2}-R)}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}={{R}^{2}}\Leftrightarrow aR=\dfrac{7{{a}^{2}}}{12}\Leftrightarrow R=\dfrac{7a}{12}$
Đáp án D.
