Cho hàm số $y=\left| 2{{x}^{3}}-3\left( 2m+2...

Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3\left( 2m+2 \right){{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}+m \right)x-m$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=6\left[ {{x}^{2}}-\left( 2m+2 \right)x+{{m}^{2}}+m \right]$, ${{\Delta }^{'}}=m+1$
Trường hợp 1: $m+1\le 0\Leftrightarrow m\le -1$ suy ra ${f}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Vậy để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& f\left( 0 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& -m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -1$
Kết hợp với điều kiện $m\in \mathbb{Z}~;~m\in \left( -20~;~20 \right)$ ta được $m\in \left\{ -19;~-18;~-17;~\cdots ;~-3;~-2;~-1 \right\}$.
Ta có $19$ giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán (1)
Trường hợp 2: $m+1>0\Leftrightarrow m>-1$ khi đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m+1-\sqrt{m+1} \\
& x=m+1+\sqrt{m+1} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng xét dấu ${f}'\left( x \right)$
Vậy để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ khi đó ta có các trường hợp sau
TH 2.1 $\left\{ \begin{aligned}
& m+1-\sqrt{m+1}\ge 1 \\
& f\left( 0 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \sqrt{m+1} \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. VN$
TH2.2 $\left\{ \begin{aligned}
& m+1-\sqrt{m+1}\le 0 \\
& m+1+\sqrt{m+1}\ge 1 \\
& f\left( 0 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{m+1}-1\le 0 \\
& \sqrt{m+1}\ge -m \\
& -m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0$
TH2.3 $\left\{ \begin{aligned}
& m+1+\sqrt{m+1}\le 0 \\
& f\left( 0 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{m+1}+1\le 0 \\
& -m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.VN$
Kết hợp với điều kiện ta được: $m=0$. Do $m\in \mathbb{Z}~;~m\in \left( -20~;~20 \right)$ Ta có $1$ giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán $\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra: có tất cả có $20$ giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.