Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị...

+ Từ đồ thi hàm số $y=f(x)$ ta có $f'(x)=a.x.(x-2)$ $(a>0)$ $\begin{aligned}
& g'(x)=f'\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right).\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right)' \\
& =a.\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right).\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m-2 \right).\dfrac{\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).x.\left( {{x}^{4}}+4 \right)}{\sqrt{{{\left( {{x}^{5}}+4x \right)}^{2}}}} \\
\end{aligned} $ $ \left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right).\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m-2 \right).\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).x.\left( {{x}^{4}}+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& \left| {{x}^{5}}+4x \right|=-m \\
& \left| {{x}^{5}}+4x \right|=-m+2 \\
\end{aligned} \right.$
+ Xét hàm số $h(x)=\left| {{x}^{5}}+4x \right|\Rightarrow h'(x)=\dfrac{\left( 5{{x}^{4}}+4 \right).({{x}^{5}}+4x)}{\sqrt{{{\left( {{x}^{5}}+4x \right)}^{2}}}}$.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy các phương trình $\left| {{x}^{5}}+4x \right|=-m$ (1) và $\left| {{x}^{5}}+4x \right|=-m+2$ (2)
nếu có nghiệm $x=0$ thì nghiệm đó là nghiệm bội chẵn
$\Rightarrow $ hàm số $g(x)=f\left( \left| {{x}^{5}}+5x \right|+m \right)$ luôn có điểm cực trị $x=0$.
+ Để hàm số $g(x)=f\left( \left| {{x}^{5}}+5x \right|+m \right)$ có 5 điểm cực trị thì cả hai phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m>0 \\
& -m+2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<0 $. Do $ m\in Z,m\in \left[ -2021;2021 \right]\Rightarrow $ có 2021 giá trị m thỏa mãn.