Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên...

Trước hết ta thấy hàm số $y=f\left( \left| x \right|+m-2020 \right)$ không phải là hàm số hằng và có đồ thị đối xứng trục tung nên hàm số luôn đạt cực trị tại điểm $x=0$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là $x=3,x=5$.
Ta có $y=f\left( \left| x \right|+m-2020 \right)=\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x+m-2020 \right) \text{khi} x\ge 0 \\
& f\left( -x+m-2020 \right) \text{khi} x<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Hàm số $y=f\left( x+m-2020 \right)$ có hai điểm cực trị thỏa mãn $\left[ \begin{aligned}
& x+m-2020=3 \\
& x+m-2020=5 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2023-m \\
& x=2025-m \\
\end{aligned} \right.$.
Hàm số $y=f\left( -x+m-2020 \right)$ có hai điểm cực trị thỏa mãn $\left[ \begin{aligned}
& -x+m-2020=3 \\
& -x+m-2020=5 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m-2023 \\
& x=m-2025 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right|+m-2020 \right)$ có tối đa 5 điểm cực trị, nên để hàm số có 5 điểm cực trị thì $\left\{ \begin{aligned}
& 2023-m>0 \\
& 2025-m>0 \\
& m-2023<0 \\
& m-2025<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<2023 $. Suy ra có tất cả $ 2022 $ giá trị nguyên dương của tham số $ m$ thoả mãn bài toán.