Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Ta có: ${g}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)\left( 2f\left( x \right)-4 \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m \right)}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m \right|}.{f}'\left( \left| {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m \right| \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{f}'\left( x \right)=0 \left( 1 \right) \\
2f\left( x \right)-4=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=2 \left( 2 \right) \\
{{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)=m \left( 3 \right) \\
\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m \right|=-1 \left( vo ly \right) \\
\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m=2 \\
{{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)-m=-2 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)=m+2 \left( 4 \right) \\
{{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)=m-2 \left( 5 \right) \\
\end{matrix} \right. \right. \\
\end{matrix} \right.$
Dễ thấy $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm đơn (vì có 2 cực trị) và $\left( 2 \right)$ có 3 nghiệm đơn
Vậy tổng số nghiệm đơn của phương trình $\left( 3 \right); \left( 4 \right); \left( 5 \right)$ là 12 thì thỏa mãn
Đặt $u=u\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)\Rightarrow {u}'=2{f}'\left( x \right)\left( f\left( x \right)-2 \right)\Rightarrow {u}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\in \left\{ -1;2 \right\} \\
& x\in \left\{ a;b;c \right\} \\
\end{aligned} \right.$.
Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: $a<-1<b<2<c$.
Bảng biến thiên của hàm số $u={{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)$.
Vậy số giao điểm của các đường thẳng $y=m-2;y=m;y=m+2$ với đồ thị $u\left( x \right)$ là 12 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\le m-2<60 \\
& -3\le m+2<60 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<58\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;...;57 \right\}\Rightarrow S=1652$.