Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ Số...

Ta có: $g\left( x \right)={{\left( f\left( x \right)+m \right)}^{2}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2.{f}'\left( x \right).\left( f\left( x \right)+m \right)$
Nên: ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-m \\
\end{aligned} \right. $. Mà $ {f}'\left( x \right)=0 $ có $ 3 $ nghiệm nên để hàm số $ y=g\left( x \right) $ có $ 5 $ điểm cực trị thì phương trình: $ f\left( x \right)=-m\left( * \right) $ phải có $ 2$nghiệm bội lẻ phân biệt.
Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số thì phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khi:
$\left[ \begin{aligned}
& -m\ge -2 \\
& -6<-m\le -4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 2 \\
& 4\le m<6 \\
\end{aligned} \right..$
Do $m$ nguyên dương nên: $m\in \left\{ 1;2;4;5 \right\}\Rightarrow $ Có $4$ giá trị $m$ thỏa mãn.