Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=g\left( x...

[/LIST]
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x-4m+\dfrac{2}{3}\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+m-2.$
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$ khi:
+) $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$ và $f\left( 1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1; 3 \right) \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+m-2\ge 0,\forall x\in \left( 1; 3 \right) \\
& -3m-3\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -{{x}^{2}}+4x+2=h\left( x \right),\forall x\in \left( 1; 3 \right) \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left( 1; 3 \right) }{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( 2 \right)=6 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow VN.$
+) $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1; 3 \right)$ và $f\left( 1 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 1; 3 \right) \\
& f\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-4x+m-2\le 0,\forall x\in \left( 1; 3 \right) \\
& -3m-3\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -{{x}^{2}}+4x+2=h\left( x \right),\forall x\in \left( 1; 3 \right) \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \underset{\left( 1; 3 \right) }{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 2 \right)=6 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 5\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$.
Suy ra có 7 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.