Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Ta có
 $f\left( \cos x \right)-2m+1=2\cos x\Leftrightarrow 2m-1=f\left( \cos x \right)-2\cos x \left( 1 \right)$.
 Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( \cos x \right)-2\cos x \Rightarrow {g}'\left( x \right)=-\sin x.{f}'\left( \cos x \right)+2\sin x=\sin x\left( 2-{f}'\left( \cos x \right) \right)$.
 Với $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \cos x\in \left( -1;1 \right) \\
& \sin x>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( \cos x \right)<0 \\
& \sin x>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \sin x.\left( 2-{f}'\left( \cos x \right) \right)>0\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0, \forall x\in \left( 0;\pi \right)$.
 Bảng biến thiên
 Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc $\left( 0;\pi \right)\Leftrightarrow -3<2m-1<5\Leftrightarrow -1<m<3$.
 Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$. Vậy tổng các giá trị của $m$ là $0+1+2=3$.