Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)-1 \right)=m$ có nghiệm.
A. $6$.
B. $4$.
C. $3$
D. $5$.
A. $6$.
B. $4$.
C. $3$
D. $5$.
Đặt $t=4({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x)-1$
Ta có: ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x=1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x$ $=\dfrac{1}{4}(1+3{{\cos }^{2}}2x)$
$\Rightarrow t=4({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x)-1=4(\dfrac{1}{4}(1+3{{\cos }^{2}}2x))-1$ $=3{{\cos }^{2}}2x$
Mặt khác: $0\le {{\cos }^{2}}2x\le 1$ $\Rightarrow 0\le 3{{\cos }^{2}}2x\le 3$ hay $t\in \left[ 0;3 \right]$ $\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -4;0 \right]$
Để $f\left( 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)-1 \right)=m$ có nghiệm thì $m\in \left[ -4;0 \right]$ $\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0 \right\}$
Vậy có 5 giá trị $m$ thỏa mãn
Ta có: ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x=1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x$ $=\dfrac{1}{4}(1+3{{\cos }^{2}}2x)$
$\Rightarrow t=4({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x)-1=4(\dfrac{1}{4}(1+3{{\cos }^{2}}2x))-1$ $=3{{\cos }^{2}}2x$
Mặt khác: $0\le {{\cos }^{2}}2x\le 1$ $\Rightarrow 0\le 3{{\cos }^{2}}2x\le 3$ hay $t\in \left[ 0;3 \right]$ $\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -4;0 \right]$
Để $f\left( 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)-1 \right)=m$ có nghiệm thì $m\in \left[ -4;0 \right]$ $\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0 \right\}$
Vậy có 5 giá trị $m$ thỏa mãn
Đáp án D.