Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+16 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2023$ đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right)$
A. $10$.
B. $11$.
C. $19$.
D. $18$.
A. $10$.
B. $11$.
C. $19$.
D. $18$.
${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+16 \right)+x{{\left( x-1 \right)}^{2}}=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+17 \right)$.
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 5;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+17 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+17\ge 0,\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow -m\le x+\dfrac{17}{x},\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=x+\dfrac{17}{x}$ với $x\in \left( 5;+\infty \right)$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=1-\dfrac{17}{{{x}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$ nên $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 5;+\infty \right)$. Khi đó
$-m\le x+\dfrac{17}{x}\Leftrightarrow -m\le h\left( 5 \right)=\dfrac{42}{5}\Leftrightarrow m\ge \dfrac{-42}{5}\Rightarrow m\in \left\{ -8;-7;-6;...;10 \right\}$.
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 5;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+17 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+17\ge 0,\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow -m\le x+\dfrac{17}{x},\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=x+\dfrac{17}{x}$ với $x\in \left( 5;+\infty \right)$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=1-\dfrac{17}{{{x}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 5;+\infty \right)$ nên $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 5;+\infty \right)$. Khi đó
$-m\le x+\dfrac{17}{x}\Leftrightarrow -m\le h\left( 5 \right)=\dfrac{42}{5}\Leftrightarrow m\ge \dfrac{-42}{5}\Rightarrow m\in \left\{ -8;-7;-6;...;10 \right\}$.
Đáp án C.
