Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $g(x)=f(\sin x+\sqrt{3}\cos x+mx)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
A. $8$.
B. $9$.
C. $10$.
D. $11$.
A. $8$.
B. $9$.
C. $10$.
D. $11$.
Ta có: $g'(x)=f'(\sin x+\sqrt{3}\cos x+mx).(\cos x-\sqrt{3}\sin x+m)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f'(x)\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ nên để hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $g'(x)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra: $\cos x-\sqrt{3}\sin x+m\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2(\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x)+m\le 0;\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow 2\cos \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)\le -m;\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow \cos \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)\le \dfrac{-m}{2};\forall x\in \mathbb{R} \\
\end{aligned}$
Suy ra: $\dfrac{-m}{2}\ge 1\Leftrightarrow m\le -2$
Vì $m$ nguyên và $m\in \left[ -10;10 \right]$ nên $m\in \left\{ -10;-9;...;-2 \right\}$.
Vậy có 9 giá trị của $m$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f'(x)\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ nên để hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $g'(x)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra: $\cos x-\sqrt{3}\sin x+m\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2(\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x)+m\le 0;\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow 2\cos \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)\le -m;\forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow \cos \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)\le \dfrac{-m}{2};\forall x\in \mathbb{R} \\
\end{aligned}$
Suy ra: $\dfrac{-m}{2}\ge 1\Leftrightarrow m\le -2$
Vì $m$ nguyên và $m\in \left[ -10;10 \right]$ nên $m\in \left\{ -10;-9;...;-2 \right\}$.
Vậy có 9 giá trị của $m$.
Đáp án B.
