Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{2}{\left| f'\left( 2x-3 \right) \right|}dx$.
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 5.
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 5.
Dựa vào đồ thị $f\left( x \right)$ ta có: $f\left( -1 \right)=-2 ; f\left( 0 \right)=3 ; f\left( 1 \right)=0$
${f}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \left[ -1;0 \right]$
${f}'\left( x \right)\le 0 \forall x\in \left[ 0;1 \right]$
$I=\int\limits_{1}^{2}{\left| f'\left( 2x-3 \right) \right|}dx$
Đặt $t=2x-3\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}dt$
Đổi cận:
$I=\int\limits_{-1}^{1}{\left| f\left( t \right) \right|}.\dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}\left[ \int\limits_{-1}^{0}{{f}'\left( t \right)dt-\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( t \right)dt+}} \right]=\dfrac{1}{2}\left[ \left. f\left( t \right) \right|_{-1}^{0}-\left. f\left( t \right) \right|_{0}^{1} \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 0 \right)-f\left( -1 \right)-f\left( 1 \right)+f\left( 0 \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left[ 3-\left( -2 \right)-0+3 \right]=4$.
${f}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \left[ -1;0 \right]$
${f}'\left( x \right)\le 0 \forall x\in \left[ 0;1 \right]$
$I=\int\limits_{1}^{2}{\left| f'\left( 2x-3 \right) \right|}dx$
Đặt $t=2x-3\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}dt$
Đổi cận:
$I=\int\limits_{-1}^{1}{\left| f\left( t \right) \right|}.\dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}\left[ \int\limits_{-1}^{0}{{f}'\left( t \right)dt-\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( t \right)dt+}} \right]=\dfrac{1}{2}\left[ \left. f\left( t \right) \right|_{-1}^{0}-\left. f\left( t \right) \right|_{0}^{1} \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 0 \right)-f\left( -1 \right)-f\left( 1 \right)+f\left( 0 \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left[ 3-\left( -2 \right)-0+3 \right]=4$.
Đáp án B.