Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+9x \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right),$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị?
A. $5$.
B. $4$.
C. $7$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $7$.
D. $2$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{3x\left( {{x}^{2}}+3 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{\left| {{x}^{3}}+3x \right|}.{f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)$
Dễ thấy ${g}'\left( x \right)$ không xác định tại $x=0$ và khi qua $x=0$ thì ${g}'\left( x \right)$ đổi dấu nên $x=0$ là một điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$.
Để $g\left( x \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị thì phương trình ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=0$ có thể có tối đa $5$ nghiệm bội lẻ khác $x=0$.
Có: ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=0 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=-9 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=-3 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m-9 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m-3 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m+3 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số $\left| {{x}^{3}}+3x \right|$ :
Để $g\left( x \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị thì: ${{m}^{2}}-2m-3\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 3$
Vậy có $5$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
Dễ thấy ${g}'\left( x \right)$ không xác định tại $x=0$ và khi qua $x=0$ thì ${g}'\left( x \right)$ đổi dấu nên $x=0$ là một điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$.
Để $g\left( x \right)$ có không quá $6$ điểm cực trị thì phương trình ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=0$ có thể có tối đa $5$ nghiệm bội lẻ khác $x=0$.
Có: ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=0 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=-9 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=-3 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m-9 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m-3 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m+3 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số $\left| {{x}^{3}}+3x \right|$ :
Vậy có $5$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.