Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m \right]$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-5;5]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có tối thiểu 3 cực trị.
A. $8.$
B. $9.$
C. $10.$
D. $11.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2m \\
& x=m-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$g\left( x \right)$ có tối thiểu 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow h\left( x \right)=f\left( x+m \right)$ có tối thiểu 1 điểm cực trị dương.
$\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x+m \right)=0$ có tối thiểu 1 nghiệm bội lẻ dương.
Xét ${f}'\left( x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+m=1 \\
& x+m=2m \\
& x+m=m-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1-m \\
& x=m \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy $m\in \left\{ -5;-4;-3;...;5 \right\}$ thì ${f}'\left( x+m \right)=0$ luôn có tối thiểu 1 nghiệm bội lẻ dương.
Vậy có 11 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
A. $8.$
B. $9.$
C. $10.$
D. $11.$
Xét ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x+2{{m}^{2}}-2m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2m \\
& x=m-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$g\left( x \right)$ có tối thiểu 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow h\left( x \right)=f\left( x+m \right)$ có tối thiểu 1 điểm cực trị dương.
$\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x+m \right)=0$ có tối thiểu 1 nghiệm bội lẻ dương.
Xét ${f}'\left( x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+m=1 \\
& x+m=2m \\
& x+m=m-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1-m \\
& x=m \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy $m\in \left\{ -5;-4;-3;...;5 \right\}$ thì ${f}'\left( x+m \right)=0$ luôn có tối thiểu 1 nghiệm bội lẻ dương.
Vậy có 11 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án D.