Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\left( x-11 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)$ có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. 5.
B. 8.
C. 6.
D. 7.
A. 5.
B. 8.
C. 6.
D. 7.
$g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)\Rightarrow g\prime \left( x \right)=\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)\prime .f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)$
$=\dfrac{\left( {{x}^{3}}+3x \right).\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)}{\left| {{x}^{3}}+3x \right|}.f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)$.
Ta thấy $g\left( x \right)$ xác định tại $x=0$ và $g'\left( x \right)$ đổi dấu khi qua $x=0$ nên nếu $f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)=0$ không tồn tại nghiệm bội lẻ bằng $0$ thì $x=0$ là một điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$.
Mặt khác $f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1=11 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1=-2 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|=12-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|=-1-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|=3-2m \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}+3x$, vì $h\prime \left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Ta có bảng biến thiên của hàm số $k\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{3}}+3x \right|$ như sau:
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)$ có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình $f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)=0$ có ít nhất hai nghiệm bộ lẻ khác 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $12-2m>0$ hay $m<6$.
Kết hợp điều kiện $m$ nguyên dương ta được $m\in \left\{ 1;2;3; 4 ; 5 \right\}$. Vậy có 5 giá trị của $m$ thoả mãn.
$=\dfrac{\left( {{x}^{3}}+3x \right).\left( 3{{x}^{2}}+3 \right)}{\left| {{x}^{3}}+3x \right|}.f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)$.
Ta thấy $g\left( x \right)$ xác định tại $x=0$ và $g'\left( x \right)$ đổi dấu khi qua $x=0$ nên nếu $f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)=0$ không tồn tại nghiệm bội lẻ bằng $0$ thì $x=0$ là một điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$.
Mặt khác $f\prime \left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1=11 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1=-2 \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|=12-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|=-1-2m \\
& \left| {{x}^{3}}+3x \right|=3-2m \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}+3x$, vì $h\prime \left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Ta có bảng biến thiên của hàm số $k\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{3}}+3x \right|$ như sau:
Kết hợp điều kiện $m$ nguyên dương ta được $m\in \left\{ 1;2;3; 4 ; 5 \right\}$. Vậy có 5 giá trị của $m$ thoả mãn.
Đáp án A.
