Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${{2}^{f\left( x \right)+\dfrac{4}{f\left( x \right)}}}+{{\log }_{2}}\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)+5 \right]=m$ có $6$ nghiệm thực phân biệt?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
Đặt $h\left( x \right)={{2}^{x+\dfrac{4}{x}}}+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)$ ; $g\left( x \right)={{2}^{f\left( x \right)+\dfrac{4}{f\left( x \right)}}}+{{\log }_{2}}\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)+5 \right]$.
Suy ra: $g\left( x \right)=h\left( f\left( x \right) \right)$. Ta thấy $f\left( x \right)>0\forall x$ nên ở đây ta chỉ xét hàm $h\left( x \right)$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
${h}'\left( x \right)=\left( 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right){{2}^{x+\dfrac{4}{x}}}\ln 2+\dfrac{2\left( x-2 \right)}{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\ln 2}=\left( x-2 \right)\left( \dfrac{x+2}{{{x}^{2}}}{{2}^{x+\dfrac{4}{x}}}\ln 2+\dfrac{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\ln 2} \right)$ ;
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$.
Ta có: ${{2}^{f\left( x \right)+\dfrac{4}{f\left( x \right)}}}+{{\log }_{2}}\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)+5 \right]=m$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)=m$.
Suy ra: phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$ có đúng 6 điểm chung phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi $16<m<1+{{2}^{\dfrac{13}{3}}}\approx 21,16$.
Suy ra có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Suy ra: $g\left( x \right)=h\left( f\left( x \right) \right)$. Ta thấy $f\left( x \right)>0\forall x$ nên ở đây ta chỉ xét hàm $h\left( x \right)$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
${h}'\left( x \right)=\left( 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right){{2}^{x+\dfrac{4}{x}}}\ln 2+\dfrac{2\left( x-2 \right)}{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\ln 2}=\left( x-2 \right)\left( \dfrac{x+2}{{{x}^{2}}}{{2}^{x+\dfrac{4}{x}}}\ln 2+\dfrac{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\ln 2} \right)$ ;
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$.
Ta có: ${{2}^{f\left( x \right)+\dfrac{4}{f\left( x \right)}}}+{{\log }_{2}}\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-4f\left( x \right)+5 \right]=m$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)=m$.
Suy ra: phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$ có đúng 6 điểm chung phân biệt.
Suy ra có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.