Cho hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x+2}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng...

Để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$, điều kiện cần: $a\ne 0$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{aligned}

& \dfrac{3x+2}{x+2}=ax+2b-4\Rightarrow 3x+2=\left( x+2 \right)\left( ax+2b-4 \right) \\

& \Leftrightarrow a{{x}^{2}}+\left( 2a+2b-7 \right)x+4b-10=0 \\

\end{aligned}$

Giả sử $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ theo yêu cầu bài toán:

$\left\{ \begin{aligned}

& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\

& {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\

& a\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4b-8=0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& b=2 \\

& 2a+2b-7=0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& b=2 \\

& a=\dfrac{3}{2} \\

\end{aligned} \right.$

Thử lại với $a=\dfrac{3}{2},b=2\Rightarrow \dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\

& x=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\

\end{aligned} \right.\left( TM \right)$

Vậy $P=a.b=3.$