Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1$ có đồ thị...

Giả sử $M\left( {{x}_{M}}; {{y}_{M}} \right),N\left( {{x}_{N}}; {{y}_{N}} \right)$, suy ra ${y}'\left( {{x}_{M}} \right)={y}'\left( {{x}_{N}} \right)=k$.
Ta có: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1={y}'(x)\left( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3} \right)-\dfrac{2}{3}x+1$.
$M,N$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{y}_{M}}={y}'\left( {{x}_{M}} \right)\left( \dfrac{1}{3}{{x}_{M}}-\dfrac{2}{3} \right)-\dfrac{2}{3}{{x}_{M}}+1 \\
& {{y}_{N}}={y}'\left( {{x}_{N}} \right)\left( \dfrac{1}{3}{{x}_{N}}-\dfrac{2}{3} \right)-\dfrac{2}{3}{{x}_{N}}+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{y}_{M}}=\left( \dfrac{k}{3}-\dfrac{2}{3} \right){{x}_{M}}-\dfrac{2k}{3}+1 \\
& {{y}_{N}}=\left( \dfrac{k}{3}-\dfrac{2}{3} \right){{x}_{N}}-\dfrac{2k}{3}+1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó đường thẳng $MN$ có phương trình: $y=\left( \dfrac{k}{3}-\dfrac{2}{3} \right)x-\dfrac{2k}{3}+1$.
Mặt khác do $OB=2OA$ nên đường thẳng $MN$ có hệ số góc bằng $2$ hoặc $-2$.
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{k}{3}-\dfrac{2}{3}=2 \\
& \dfrac{k}{3}-\dfrac{2}{3}=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=8 \\
& k=-4 \\
\end{aligned} \right. $. Ta có: $ {y}'\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3$
Với $k=-4\Rightarrow {{x}_{M}},{{x}_{N}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-4x+3=-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+7=0$
$\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.
Với $k=8\Rightarrow {{x}_{M}},{{x}_{N}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M\left( -1; -\dfrac{19}{3} \right), N\left( 5; \dfrac{17}{3} \right)$.
Từ đó tìm được phương trình đường thẳng $MN$ : $y=2x-\dfrac{13}{3}$.
Vậy diện tích cần tìm là $S=\int\limits_{-1}^{5}{\left| \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+\dfrac{10}{3} \right|}\text{d}x=\dfrac{27}{2}$.