Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}\text{ khi }x<\text{1} \\
& ax+1\text{ khi }x\ge \text{1} \\
\end{aligned} \right.. $ Tìm a để hàm số liên tục trên $ \mathbb{R}$.
A. $a=1$
B. $a=-1$
C. $a=3$
D. $a=\dfrac{1}{2}$
& \dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}\text{ khi }x<\text{1} \\
& ax+1\text{ khi }x\ge \text{1} \\
\end{aligned} \right.. $ Tìm a để hàm số liên tục trên $ \mathbb{R}$.
A. $a=1$
B. $a=-1$
C. $a=3$
D. $a=\dfrac{1}{2}$
Phương pháp:
Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục tại $x=a$ khi $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( a \right)$
Cách giải:
Ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $f\left( x \right)$ phải liên tục tại $x=1$
Ta có: $\begin{aligned}
& \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( x+1 \right)=2 \\
& \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( ax+1 \right)=a+1 \\
\end{aligned}$
Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\Leftrightarrow a+1=2\Leftrightarrow a=1$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục tại $x=a$ khi $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( a \right)$
Cách giải:
Ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $f\left( x \right)$ phải liên tục tại $x=1$
Ta có: $\begin{aligned}
& \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( x+1 \right)=2 \\
& \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( ax+1 \right)=a+1 \\
\end{aligned}$
Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\Leftrightarrow a+1=2\Leftrightarrow a=1$
Đáp án A.