Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ...

Từ giả thiết suy ra: $g\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{3}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=1 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=0$ ta có: $\left( x-1 \right)\left[ f\left( x \right)-1 \right]\ge 0\forall \text{x}\in \mathbb{R}$ (đúng)
Với $m=1$ ta có: $\dfrac{1}{2}\left[ \left( 2\text{x}-1 \right)-1 \right]\left[ f\left( 2\text{x}-1 \right)-1 \right]\ge 0\forall \text{x}\in \mathbb{R}$ (đúng)
Với $m=-1$.
Xét $x>1$ ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{f\left( 2\text{x}-1 \right)+1}{2f\left( x \right)}=4$
$\Rightarrow \exists \alpha >1,\alpha $ đủ lớn sao cho $f\left( 2\alpha -1 \right)+1\ge 2f\left( \alpha \right)$
$\Rightarrow \left( \alpha -1 \right)-f\left[ \left( 2\alpha -1 \right)-1+2f\left( \alpha \right) \right]<0$ (mâu thuẫn (*)) $\Rightarrow m=-1$ (loại).
Vậy $m\in \left\{ 0;1 \right\}$.