Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có hai điểm cực trị là $A\left( 0;3 \right)$ và $B\left( 2;-1 \right)$. Số nghiệm thực của phương trình ${{4}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)+f\left( f\left( x \right) \right)}}+{{3.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}={{3.2}^{f\left( x \right)}}$ là.
A. $3$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $9$.
A. $3$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $9$.
$f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có điểm cực trị $A\left( 0;3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có điểm cực trị $B\left( 2;-1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 12a+4b+c=0 \\
& 8a+4b+2c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$.
Xét phương trình: ${{4}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)+f\left( f\left( x \right) \right)}}+{{3.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}={{3.2}^{f\left( x \right)}}$.
$\Leftrightarrow {{2}^{2f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)}}{{.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}+{{3.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{3.2}^{f\left( x \right)}}=0$
$\Leftrightarrow {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}\left( {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}+3 \right)-{{2}^{f\left( x \right)}}\left( {{2}^{^{f\left( f\left( x \right) \right)}}}+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}+3 \right)\left( {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)}} \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}={{2}^{f\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right)$.
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)+3=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)+3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=3 \\
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=3 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=1 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0\left( 2ng \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2\left( 3ng \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-4\left( 2ng \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có điểm cực trị $A\left( 0;3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có điểm cực trị $B\left( 2;-1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 12a+4b+c=0 \\
& 8a+4b+2c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$.
Xét phương trình: ${{4}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)+f\left( f\left( x \right) \right)}}+{{3.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}={{3.2}^{f\left( x \right)}}$.
$\Leftrightarrow {{2}^{2f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)}}{{.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}+{{3.2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{3.2}^{f\left( x \right)}}=0$
$\Leftrightarrow {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}\left( {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}+3 \right)-{{2}^{f\left( x \right)}}\left( {{2}^{^{f\left( f\left( x \right) \right)}}}+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}+3 \right)\left( {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}-{{2}^{f\left( x \right)}} \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}={{2}^{f\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right)$.
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)+3=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)+3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=3 \\
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=3 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=1 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0\left( 2ng \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2\left( 3ng \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-4\left( 2ng \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.
Đáp án B.
