Google
Câu hỏi: Cho 2 số thực $x;y$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 3$ và ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left[ x\left( 4{{x}^{2}}-3x+4{{y}^{2}} \right)-3{{y}^{2}} \right]\ge 2$ gọi $M;m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x-y$ khi đó biểu $T=2\left( M+m \right)$ có giá trị gần nhất với số nào sau đây
A. $9$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $10$.
A. $9$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $10$.
Ta có ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left[ x\left( 4{{x}^{2}}-3x+4{{y}^{2}} \right)-3{{y}^{2}} \right]\ge 2\Leftrightarrow {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left[ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 4x-3 \right) \right]\ge 2$
$1+{{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left( 4x-3 \right)\ge 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+3\le 0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1$
Giả sử $M$ là giá trị lớn nhất của $P$. Gọi ${{\Delta }_{1}}:x-y-M=0$ để tồn tại giá trị lớn nhất thì $d\left( I;\left( \Delta \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2-M \right|}{\sqrt{2}}\le 1\Leftrightarrow M\le 2+\sqrt{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $M=2+\sqrt{2}$
Giả sử $m$ là giá trị nhỏ nhất của $P$. Gọi ${{\Delta }_{2}}:x-y-m=0$. Dựa vào miền nghiệm của $P$ ta thấy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${{\Delta }_{2}}$ đi qua điểm $A\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow m=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$
Vậy $T=2\left( M+m \right)=2\left( 2+\sqrt{2}+\dfrac{3-\sqrt{3}}{2} \right)\approx 8.096$
$1+{{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\left( 4x-3 \right)\ge 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+3\le 0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $M=2+\sqrt{2}$
Giả sử $m$ là giá trị nhỏ nhất của $P$. Gọi ${{\Delta }_{2}}:x-y-m=0$. Dựa vào miền nghiệm của $P$ ta thấy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${{\Delta }_{2}}$ đi qua điểm $A\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow m=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$
Vậy $T=2\left( M+m \right)=2\left( 2+\sqrt{2}+\dfrac{3-\sqrt{3}}{2} \right)\approx 8.096$
Đáp án B.