Google
Câu hỏi: Biết x, y là các số thực thỏa mãn $10^{2 x+3-y^2} \geq a^{2 x-\log a}$ với mọi số thực $a>0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3 x+4 y$
A. $10$
B. $13$
C. $25$
D. $8.$
A. $10$
B. $13$
C. $25$
D. $8.$
${{10}^{2x+3-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{2x-\log a}}\Leftrightarrow 2x+3-{{y}^{2}}\ge \left( 2x-\log a \right)\log a\Leftrightarrow {{\log }^{2}}a-2x\log a+2x+3-{{y}^{2}}\ge 0$
Đặt $t=\log a$ ta được bất phương trình ${{t}^{2}}-2xt+2x+3-{{y}^{2}}\ge 0$
Để bất phương trình đúng với mọi số thực $a>0$.
Điều kiện là $\Delta '\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3+{{y}^{2}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4$.
$P=3x+4y=3\left( x-1 \right)+4y\Rightarrow {{P}^{2}}\le \left[ {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right]\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]\le 25.4\Rightarrow P\le 10.$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $t=\log a$ ta được bất phương trình ${{t}^{2}}-2xt+2x+3-{{y}^{2}}\ge 0$
Để bất phương trình đúng với mọi số thực $a>0$.
Điều kiện là $\Delta '\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3+{{y}^{2}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4$.
$P=3x+4y=3\left( x-1 \right)+4y\Rightarrow {{P}^{2}}\le \left[ {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right]\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]\le 25.4\Rightarrow P\le 10.$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.