Google
Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2}; {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*.
Phương pháp giải
Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \(0\).
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{
& {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left({{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left({{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left({{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0; \forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left({{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left({n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2}; \forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0; \forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left({n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1; \forall n \in {N^*} \cr} \)
Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \(0\).
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{
& {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left({{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left({{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left({{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0; \forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left({{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left({n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2}; \forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0; \forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left({n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1; \forall n \in {N^*} \cr} \)