Bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \(\sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\(n ≥ 1\).

Câu a​

Viết năm số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải:
Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1; 2; 3; 4\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(u_2 = \sqrt {1 + u_1^2} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}\)
\(u_3= \sqrt {1 + u_2^2}= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}\)
\(u_4= \sqrt {1 + u_3^2}= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}\)
\(u_5= \sqrt {1 + u_4^2}= \sqrt{1+(\sqrt{12})^2} = \sqrt{13}\)
Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11};\) \(u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}\)

Câu b​

Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải:
Dựa vào các giá trị \(u_1; u_2; u_3; u_4; u_5\) dự đoán công thức tổng \(u_n\).
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với \(n=1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}\)
\(u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}\)
\(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}\)
\(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}\)
\(u_5= \sqrt{13} = \sqrt{5 + 8}\)
...........
Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{n + 8}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\)   (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có  \(u_k = \sqrt{k + 8}\) với \(k ≥ 1\), ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}\)
Theo công thức dãy số, ta có:
\(u_{k+1}=  \sqrt{1+u^{2}_{k}}\) \(=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}\)
\(= \sqrt {1 + k + 8} \) \(=\sqrt{(k+1)+8}\).
Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy công thức (1) được chứng minh.