Google
Câu hỏi: Xét tính đơn điệu của dãy số \(({a_n})\) với \({a_n} = {{3{n^2} - 2n + 1} \over {n + 1}};\)
Lời giải chi tiết
Viết lại công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({a_n})\) dưới dạng
\({a_n} = 3n - 5 + {6 \over {n + 1}}\)
Từ đó, ta có với mọi \(n \ge 1:\)
\({a_{n + 1}} - {a_n} = 3 + 6.\left( {{1 \over {n + 2}} - {1 \over {n + 1}}} \right) = {{3.\left({\left( {n + 1} \right)\left({n + 2} \right) - 2} \right)} \over {\left({n + 1} \right)\left({n + 2} \right)}} \)
\(= {{3n\left( {n + 3} \right)} \over {\left({n + 1} \right)\left({n + 2} \right)}} > 0\)
Vì thế, \(({a_n})\) là một dãy số tăng.
Viết lại công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({a_n})\) dưới dạng
\({a_n} = 3n - 5 + {6 \over {n + 1}}\)
Từ đó, ta có với mọi \(n \ge 1:\)
\({a_{n + 1}} - {a_n} = 3 + 6.\left( {{1 \over {n + 2}} - {1 \over {n + 1}}} \right) = {{3.\left({\left( {n + 1} \right)\left({n + 2} \right) - 2} \right)} \over {\left({n + 1} \right)\left({n + 2} \right)}} \)
\(= {{3n\left( {n + 3} \right)} \over {\left({n + 1} \right)\left({n + 2} \right)}} > 0\)
Vì thế, \(({a_n})\) là một dãy số tăng.