Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Phương pháp giải
- Chứng minh .
a) Tính độ dài bằng cách sử dụng định lý Py-ta-go.
b) Xác định điểm cách đều bằng tính chất tam giác vuông.
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khác ) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết

A. Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)
mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.
Trong tam giác vuông ABC ta có:

Trong tam giác vuông ACD ta có:

Suy ra:
b. Ta có: và suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.
Gọi I là trung điểm AD ta có:
+) Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên:
+) Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên:
Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = ID
Vây I cách đều A, B, C, D.
c. Ta có: là hình chiếu của trên .
Khi đó góc .
Xét tam giác vuông tại thì
Lại có là hình chiếu của trên .
Khi đó góc
Xét tam giác vuông tại thì