Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $\mathrm{m}$...

${{x}^{4}}+1-{{x}^{2}}+x\sqrt{2m{{x}^{4}}+2m}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+1-{{x}^{2}}+x\sqrt{2m\left( {{x}^{4}}+1 \right)}\ge 0$
Điều kiện của bất phương trình $m\ge 0.$
Ta có ${{x}^{4}}+1-{{x}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-\sqrt{3}x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{3}x+1 \right)>0$
+Với $x\ge 0\Rightarrow {{x}^{4}}+1-{{x}^{2}}+x\sqrt{2m{{x}^{4}}+2m}\ge 0,\forall m\ge 0.$
+Với $x<0\Rightarrow {{x}^{4}}+1-{{x}^{2}}-\sqrt{2m{{x}^{2}}\left( {{x}^{4}}+1 \right)}\ge 0.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{b}_{1}}={{x}^{4}}+1 \\
& {{b}_{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.,\left( {{b}_{1}}\ge 1,{{b}_{2}}\ge 0,{{b}_{1}}-{{b}_{2}}>0 \right).$
+ $m=0$ luôn thỏa mãn.
+ Xét $m>0$
Ta được bất phương trình ${{b}_{1}}-{{b}_{2}}\ge \sqrt{2m{{b}_{1}}{{b}_{2}}}.$
$\Leftrightarrow {{b}_{1}}^{2}-2{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{b}_{2}}^{2}\ge 2m{{b}_{1}}{{b}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}} \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}+1\ge 0.$
Đặt $t=\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}\left( t\ge 2 \right).$ ta được bất phương trình ${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+1\ge 0$
Đặt $h\left( t \right)={{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+1.$ Ta có $\Delta '={{m}^{2}}+2m>0,\forall m>0.$ Khi đó phương trình có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}},\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right).$
${{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+1\ge 0,\forall t\ge 2.$ điều kiện là ${{t}_{1}}<{{t}_{2}}\le 2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h\left( 2 \right)\ge 0 \\
& m+1<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4m+1\ge 0 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{1}{4} \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{4}.$
Vậy tập các giá trị của $m$ là $S=[0;\dfrac{1}{4}]\Rightarrow a\sqrt{2}+8b=2.$