Bài 95 trang 21 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:

Câu a​

Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng đẳng thức Cô - si với ba số không âm \(a, b, c\).
\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = c\)
(Xem lại bài 94 trang 20 SBT toán 9 tập 1)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(a, b, c\) lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có: \(a > 0,b > 0,c > 0\)
Tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật:
\(p = a + b + c\)
Thể tích của hình hộp chữ nhật:
\(V = a.b.c\)
a) Ta có \(p = a + b + c\) không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{V} \le \dfrac{p}{3} \Leftrightarrow V \le \dfrac{{{p^3}}}{{27}}
\end{array}\)
Suy ra \({V_{\max }} = \dfrac{{{p^3}}}{{27}}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

Câu b​

Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng đẳng thức Cô - si với ba số không âm \(a, b, c\).
\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = c\)
(Xem lại bài 94 trang 20 SBT toán 9 tập 1)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(V = a.b.c\) không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si:
\(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{p}{3} \ge \sqrt[3]{V} \Leftrightarrow p \ge 3\sqrt[3]{V}\\
\end{array}\)
Suy ra \({p_{ \min }} = 3\sqrt[3]{V}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.