Bài 9 trang 6 SBT toán 9 Tập 1

Câu hỏi: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :
a) Nếu \(\ a < \ b\) thì \(\sqrt a < \sqrt b \).
b) Nếu \(\sqrt a < \sqrt b \) thì \(\ a < \ b\).

Câu a​

Nếu \(\ a < \ b\) thì \(\sqrt a < \sqrt b \).
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)(x - y)\)
Biện luận dựa vào các dữ kiện đã cho.
Lời giải chi tiết:
\(a \ge 0;b \ge 0\) và \(a < b \Rightarrow b > 0\)
Ta có: \(\sqrt a \ge 0;\sqrt b > 0\)
Suy ra: \(\sqrt a + \sqrt b > 0\) (1)
Mặt khác:
\(a - b = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2}\)
\( = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\)
Vì \(a < b\) nên \(a - b < 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)<0\)
Từ (1) suy ra: \(\sqrt a - \sqrt b < 0 \Rightarrow \sqrt a < \sqrt b \)

Câu b​

Nếu \(\sqrt a < \sqrt b \) thì \(\ a < \ b\).
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)(x - y)\)
Biện luận dựa vào các dữ kiện đã cho.
Lời giải chi tiết:
\(a \ge 0;b \ge 0\) và \(\sqrt a < \sqrt b \Rightarrow \sqrt b > 0\)
Suy ra: \(\sqrt a + \sqrt b > 0\) và \(\sqrt a - \sqrt b < 0\)
\(\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) < 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2} < 0 \cr
& \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow a < b \cr} \)