Google
Câu hỏi: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm
B. Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim u_n= + ∞\)
C. Nếu \(\lim u_n= + ∞\) và \(\lim v_n= + ∞\) thì \(\lim (u_n– v_n) = 0\)
D. Nếu \(u_n= a^n\) và \(-1< a < 0\) thì \(\lim u_n=0\)
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm
B. Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim u_n= + ∞\)
C. Nếu \(\lim u_n= + ∞\) và \(\lim v_n= + ∞\) thì \(\lim (u_n– v_n) = 0\)
D. Nếu \(u_n= a^n\) và \(-1< a < 0\) thì \(\lim u_n=0\)
Phương pháp giải
Xét tính đúng sai của từng đáp án.
Lời giải chi tiết
+) Câu A sai
“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.
Xét phần ví dụ sau:
Dãy số: \({u_n} = {{{{(-1)}^n}} \over n}\) có \(\lim {{{{( - 1)}^n}} \over n} = 0\)
Ta có: \({u_1} = - 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} = - {1 \over 3}\)
\(⇒ \) Dãy số \(u_n\) không tăng cũng không giảm.
+) Câu B sai
“Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim(u_n) = + ∞\)” là mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = 1 - {1 \over n}\)
Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = (1 - {1 \over {n + 1}}) - (1 - {1 \over n}) \) \(= {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \) \(= {1 \over {n(n + 1)}} > 0\)
\(⇒ (u_n)\) là dãy số tăng.
\({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim (1 - {1 \over n}) = 1\)
+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:
Hai dãy số \({u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1\)
+ \({{\mathop{\rm \lim u}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}({1 \over n} + {1 \over {{n^2}}})}} \) \(= \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n^2}}}} = + \infty \)
+ \(\lim {v_n} = \lim (n + 1) = + \infty \)
+ Nhưng :
\(\eqalign{
& \lim ({u_n} - {v_n}) = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} - (n + 1)} \right]\cr& = \lim {{ - 3n - 2} \over {n + 2}} = \lim {{n(- 3 - {2 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}}\cr& = \lim {{ - 3 - {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = - 3 \ne 0 \cr} \)
+) Câu D đúng vì \(\lim q^n= 0\) khi \(|q| <1\). Do đó: \(-1 < a < 0\) thì \(\lim a^n= 0\)
Xét tính đúng sai của từng đáp án.
Lời giải chi tiết
+) Câu A sai
“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.
Xét phần ví dụ sau:
Dãy số: \({u_n} = {{{{(-1)}^n}} \over n}\) có \(\lim {{{{( - 1)}^n}} \over n} = 0\)
Ta có: \({u_1} = - 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} = - {1 \over 3}\)
\(⇒ \) Dãy số \(u_n\) không tăng cũng không giảm.
+) Câu B sai
“Nếu \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(\lim(u_n) = + ∞\)” là mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = 1 - {1 \over n}\)
Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = (1 - {1 \over {n + 1}}) - (1 - {1 \over n}) \) \(= {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \) \(= {1 \over {n(n + 1)}} > 0\)
\(⇒ (u_n)\) là dãy số tăng.
\({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim (1 - {1 \over n}) = 1\)
+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:
Hai dãy số \({u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1\)
+ \({{\mathop{\rm \lim u}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}({1 \over n} + {1 \over {{n^2}}})}} \) \(= \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n^2}}}} = + \infty \)
+ \(\lim {v_n} = \lim (n + 1) = + \infty \)
+ Nhưng :
\(\eqalign{
& \lim ({u_n} - {v_n}) = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} - (n + 1)} \right]\cr& = \lim {{ - 3n - 2} \over {n + 2}} = \lim {{n(- 3 - {2 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}}\cr& = \lim {{ - 3 - {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = - 3 \ne 0 \cr} \)
+) Câu D đúng vì \(\lim q^n= 0\) khi \(|q| <1\). Do đó: \(-1 < a < 0\) thì \(\lim a^n= 0\)
Đáp án D.