Google
Câu hỏi: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức \(A, H, N, O\) với:
\(\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}}\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} - n)\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n - 2}}{{3n + 7}}\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}}.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}}\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} - n)\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n - 2}}{{3n + 7}}\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}}.\end{array}\)
Phương pháp giải
A: Chia cả tử và mẫu cho n.
H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho n.
N: Chia cả tử và mẫu cho n.
O: Chia cả tử và mẫu cho \(4^n\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}} \\= \lim \dfrac{{n(3 - \dfrac{1}{n})}}{{n(1 + \dfrac{2}{n})}} \\= \lim \dfrac{{3 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} \\ = \dfrac{{3 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{1 + \lim \dfrac{2}{n}}}= 3\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} - n) \\= \lim \dfrac{{({n^2} + 2n) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{n\left[ {\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} \\ = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \lim \dfrac{2}{n}} + 1}} \\= \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 0} + 1}}= 1\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n - 2}}{{3n + 7}} \\= \lim \dfrac{{n(\sqrt {\dfrac{1}{n}} - \dfrac{2}{n})}}{{n(3 + \dfrac{7}{n})}}\\ = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{n}} - \dfrac{2}{n}}}{{3 + \dfrac{7}{n}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {\lim \dfrac{1}{n}} - \lim \dfrac{2}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{7}{n}}} \\= \dfrac{{0 - 0}}{{3 + 0}}= 0\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}} \\= \lim \dfrac{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5} \right]}}{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5}}{{{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1}} \\= \dfrac{{\lim {{\left({\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 5}}{{\lim {{\left({\dfrac{1}{4}} \right)}^n} - 1}} \\= \dfrac{{0 - 5}}{{0 - 1}}= 5\end{array}\)
Vậy số \(1530\) là mã số của chữ \(HOAN\).
A: Chia cả tử và mẫu cho n.
H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho n.
N: Chia cả tử và mẫu cho n.
O: Chia cả tử và mẫu cho \(4^n\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}} \\= \lim \dfrac{{n(3 - \dfrac{1}{n})}}{{n(1 + \dfrac{2}{n})}} \\= \lim \dfrac{{3 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} \\ = \dfrac{{3 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{1 + \lim \dfrac{2}{n}}}= 3\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} - n) \\= \lim \dfrac{{({n^2} + 2n) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{n\left[ {\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} \\ = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \lim \dfrac{2}{n}} + 1}} \\= \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 0} + 1}}= 1\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n - 2}}{{3n + 7}} \\= \lim \dfrac{{n(\sqrt {\dfrac{1}{n}} - \dfrac{2}{n})}}{{n(3 + \dfrac{7}{n})}}\\ = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{n}} - \dfrac{2}{n}}}{{3 + \dfrac{7}{n}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {\lim \dfrac{1}{n}} - \lim \dfrac{2}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{7}{n}}} \\= \dfrac{{0 - 0}}{{3 + 0}}= 0\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}} \\= \lim \dfrac{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5} \right]}}{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5}}{{{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1}} \\= \dfrac{{\lim {{\left({\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 5}}{{\lim {{\left({\dfrac{1}{4}} \right)}^n} - 1}} \\= \dfrac{{0 - 5}}{{0 - 1}}= 5\end{array}\)
Vậy số \(1530\) là mã số của chữ \(HOAN\).