Google
Câu hỏi: Cho phương trình: \(-4x^3+ 4x – 1 = 0\)(1)
Mệnh đề sai là:
A. Hàm số \(f(x) = -4x^3+ 4x – 1\) liên tục trên \(\mathbb R\)
B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng \((-∞, 1)\)
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng \((-2,0)\)
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng \(( - 3,{1 \over 2})\)
Mệnh đề sai là:
A. Hàm số \(f(x) = -4x^3+ 4x – 1\) liên tục trên \(\mathbb R\)
B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng \((-∞, 1)\)
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng \((-2,0)\)
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng \(( - 3,{1 \over 2})\)
Phương pháp giải
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\) và có \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {a; b} \right)\)
Lời giải chi tiết
Mệnh đề A đúng vì \(f(x)\) là hàm số đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Mệnh đề B sai vì:
+ Xét hàm số \(f(x) = -4x^3+ 4x – 1\), ta có \(f(1) = -1; f(-2) = 23 \Rightarrow f(1). F(-2) = -23 < 0\)
+ Ta lại có hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((-2,1)\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm \(x_0 ∈ (-2,1)\)
Do đó, phương trình \(-4x^3+ 4x – 1 = 0\) có nghiệm trên \((-∞, 1)\)
Mệnh đề C đúng vì:
\(f\left( 0 \right) = - 1, f\left({ - 2} \right) = 23 \) \(\Rightarrow f\left( { - 2} \right). F\left(0 \right) = - 23 < 0\)
nên phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm thuộc khoảng \((-2; 0)\).
Mệnh đề D đúng vì:
\(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 4.{\left({\dfrac{1}{2}} \right)^3} + 4.\dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left( 0 \right). F\left({\dfrac{1}{2}} \right) = \left({ - 1} \right).\dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{2} < 0\) nên phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)
Mà pt \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((-2; 0)\) nên \(f(x)=0\) có ít nhất 2 nghiệm thuộc \(\left( { - 2;\dfrac{1}{2}} \right) \subset \left({ - 3;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a; b} \right)\) và có \(f\left( a \right). F\left(b \right) < 0\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {a; b} \right)\)
Lời giải chi tiết
Mệnh đề A đúng vì \(f(x)\) là hàm số đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).
Mệnh đề B sai vì:
+ Xét hàm số \(f(x) = -4x^3+ 4x – 1\), ta có \(f(1) = -1; f(-2) = 23 \Rightarrow f(1). F(-2) = -23 < 0\)
+ Ta lại có hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((-2,1)\) nên phương trình có ít nhất một nghiệm \(x_0 ∈ (-2,1)\)
Do đó, phương trình \(-4x^3+ 4x – 1 = 0\) có nghiệm trên \((-∞, 1)\)
Mệnh đề C đúng vì:
\(f\left( 0 \right) = - 1, f\left({ - 2} \right) = 23 \) \(\Rightarrow f\left( { - 2} \right). F\left(0 \right) = - 23 < 0\)
nên phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm thuộc khoảng \((-2; 0)\).
Mệnh đề D đúng vì:
\(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 4.{\left({\dfrac{1}{2}} \right)^3} + 4.\dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left( 0 \right). F\left({\dfrac{1}{2}} \right) = \left({ - 1} \right).\dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{2} < 0\) nên phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)
Mà pt \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((-2; 0)\) nên \(f(x)=0\) có ít nhất 2 nghiệm thuộc \(\left( { - 2;\dfrac{1}{2}} \right) \subset \left({ - 3;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Đáp án B.