Bài 9 trang 14 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Các hệ thức sau đây đúng hay sai (với mọi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) )?

Câu a​

\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Phương pháp giải:
Chứng minh \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) bằng cách dựng hình và sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Từ đó suy ra tính đúng sai của mỗi câu.
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Chứng minh:

Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr
& \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \)
Và dựng hình bình hành \(OACB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OB} \)
Như vậy:
\(\eqalign{
& OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr
& OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr
& \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr
& OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có:
\(OA + AC ≥ OC \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
\( ⇒ |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \).
Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C.
Khi đó \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng hay \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. (Do \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \))
Chú ý:
Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau:
Từ điểm O dựng điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \).
Từ điểm A dựng điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \).
Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.
Do đó a sai.

Câu b​

\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Lời giải chi tiết:
Đúng.