Google
Câu hỏi: Rút gọn biểu thức \(\displaystyle A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \cos 3x + \cos5x}}\).
Phương pháp giải
Áp dụng các công thức:
\(\begin{array}{l}
+ ) \sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}.\\
+ ) \cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}.\\
+ ) \tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}}.
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\sin x + \sin 3x + \sin 5x \\= (\sin 5x + \sin x) + \sin 3x\\= 2\sin {{5x + x} \over 2}.\cos {{5x - x} \over 2} + \sin 3x \\= 2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x\\= \sin 3x (2\cos 2x + 1) (1)\)
\(\cos x + \cos3x + \cos5x \\= (\cos 5x + \cos x)+\cos3x \\ = 2\cos \dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}+ \cos3x \\= 2\cos3x . \cos2x + \cos3x \\= \cos3x (2\cos2x + 1) (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(A = \dfrac{{\sin 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\cos 3x\left({2\cos 2x + 1} \right)}}\) \(= {{\sin 3x} \over {\cos 3x}} = \tan 3x\)
Vậy \(A= \tan 3x.\)
Áp dụng các công thức:
\(\begin{array}{l}
+ ) \sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}.\\
+ ) \cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}.\\
+ ) \tan a = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}}.
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\sin x + \sin 3x + \sin 5x \\= (\sin 5x + \sin x) + \sin 3x\\= 2\sin {{5x + x} \over 2}.\cos {{5x - x} \over 2} + \sin 3x \\= 2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x\\= \sin 3x (2\cos 2x + 1) (1)\)
\(\cos x + \cos3x + \cos5x \\= (\cos 5x + \cos x)+\cos3x \\ = 2\cos \dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}+ \cos3x \\= 2\cos3x . \cos2x + \cos3x \\= \cos3x (2\cos2x + 1) (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(A = \dfrac{{\sin 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\cos 3x\left({2\cos 2x + 1} \right)}}\) \(= {{\sin 3x} \over {\cos 3x}} = \tan 3x\)
Vậy \(A= \tan 3x.\)